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Übersicht
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Multiplizieren mit einer Matrix ist eine lineare Abbildung (Drehung, Scherung, Spiegelung). Eigenvektoren geben die Geraden an, die dabei erhalten bleiben. Und Strecken auf diesen Geraden werden um die Eigenwerte gestreckt. (Na gut, bei einem Eigenwert von 0 haben wir eine Gerade, die auf einen Punkt schrumpft).
In der Bildverarbeitung werden Eigenvektoren gerne benutzt, um Objekte auszurichten. Wenn man beispielsweise Mikroskopbilder von ellipsenförmigen Bakterien hat, gibt der größte Eigenvektor die Lage der Hauptachse an (daher auch Hauptachsentransformation). Mit dieser Hauptachse können alle Bilder gleich ausgerichtet (gedreht) werden.
Die Eigenwerte geben die Verteilung entlang der Achsen an. Sie sind unabhänging von der Ausrichtung, so daß man sie zum Vermessen oder Klassifizieren benutzten kann, ohne das Bild vorher zu drehen.
Wenn Dich im Laufe des Studiums immer mal wieder Sinnkrisen überkommen ("Wozu braucht man den ganzen Unsinn eigentlich?"), ist es hilfreich, sich mal von einem Naturwissenschaftler oder Ingenieur erzählen zu lassen, was es für Anwendungen gibt. Die brauchen oft im Vordiplom so früh so viel Mathe, daß die Mathedozenten gar nicht wissen, wie sie so viel Stoff in so kurzer Zeit vermitteln sollen.
...viele Ingenieure begreifen manchmal allerdings auch nicht den tiefern mathematischen Sinn dessen, was sie da tun :-) Das führt dann dazu, daß sie (selbst beobachtet) in drei verschiedenen Fächern jeweils wieder neu die Hauptachsentransformation auf verschiedene Weise durchzuführen lernen:
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| © 1997-98 Robert Wagner, 07/08/98, 08/14/98 |
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