© Walter Winter 1997. Das Paket wurde für und mit Mathematica 3.0 der Firma Wolfram Research entwickelt. Die Version dieser Anleitung entspricht der Paketversion 1.2.

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Um das Praktikums-Statistikpaket herunterzuladen, klicke einfach auf folgenden Link: Die beiden benötigten Dateien sind als ZIP-Archiv gepackt in dieser Datei abgelegt.

praktikum.zip (39.9 kB)

Installation

Zur Installation des Pakets kopieren Sie bitte die Anleitung "Statistics`Praktikum`.nb" an einen Ort Ihrer Wahl, sowie die Datei "Praktikum.m" bei Windows 95 in den Ordner "Programme\Wolfram Research\Mathematica\3.0\AddOns\StandardPackages\Statistics" oder, bei von der Standardkonfiguration abweichender Installation von Mathematica bzw. in einem anderen Betriebssystem, in den entsprechenden Unterordner. Falls Probleme beim späteren Laden auftreten, überprüfen Sie auch bitte, ob sich die Pakete "Statistics`LinearRegression`" und "Graphics`Spline`" am richtigen Ort befinden!

Laden des Pakets

Generell ist bei einer Verwendung des Pakets zu empfehlen, die Standardausgabe von Mathematica auf "TraditionalForm" umzustellen (Menü "Cell/Default Output Format Type/TraditionalForm")!

Vor dem Benützen von Funktionen des Pakets müssen Sie dieses Laden:

Runden

SRound[{Variable, Mittel-/Meßwert, Meßunsicherheit}] rundet die gegebenen Werte gemäß der Koventionen des Praktikumsskriptums

Als Parameter übergeben Sie der Funktion eine Liste, die die Bezeichnung der Meßgröße, den gemessenen Wert bzw. Mittelwert einer Berechnung, sowie die Meßunsicherheit (berechnet oder geschätzt, je nach Anwendung) enthält. Die Ausgabe erfolgt im gleichen Format, nur daß nun der zweite und dritte (numerische!) Listeneintrag gerundet ist.
Das Ein-/Ausgabeformat müßte hier eigentlich nicht die Meßgröße als Variable enthalten, um die Informationen verarbeiten zu können. Sie könnten hier also auch einen Dummyparameter verwenden. Das definierte Format wird sich jedoch später noch als nützlich erweisen, da so Ergebnisse einfach weiterverarbeitet werden können!
Als Rundungskonvention wurde das Praktikumsskript zugrundegelegt. Danach wird zunächst die Meßunsicherheit auf eine geltende Ziffer aufgerundet (bei einer führenden "1" oder "2" zwei geltende Ziffern!) und anschließend der Meßwert aufgrund der Genauigkeit der gerundeten Meßunsicherheit "normal" gerundet. ACHTUNG: Achten Sie immer auf die Genauigkeit der Meßunsicherheit beim Ablesen, da folgende Nullen beim Meßwert von Mathematica weggelassen werden!

Hier wird die Meßunsicherheit auf zwei geltende Ziffern gerundet:

Die Funktion kann natürlich auch große Zahlen korrekt runden:

Vorsicht beim Ablesen ist hier geboten:

Dies muß als {x, 0.20, 0.08} interpretiert werden!

Auswertung einer Meßreihe

EvaluateSeries[Variable, Daten, (Optionen)] wertet eine Meßreihe bezüglich Mittelwert und Meßunsicherheit aus

Übergeben Sie der Funktion den Namen der Meßgröße und eine (eindimensionale) Liste der Meßdaten als Parameter. Die Funktion wird sodann Mittelwert und Meßunsicherheit (als Produkt von Standardabweichung des Mittelswerts und t-Faktor mit einem Vertrauensniveau von 68.26%) errechnen, sowie das Ergebnis mit SRound runden. Die Ausgabe erfolgt im gewohnten Listenformat {Meßgröße, Mittelwert, Meßunsicherheit}. Beachten Sie bitte, daß Meßreihen mit nur einem Wert sinnlos sind und der t-Faktor für nicht in der Tabelle im Skript gelistete n nur abgeschätzt wird!

Eine einfache Meßreihenauswertung einer Spannungsmessung:

Optionen von EvaluateSeries und Gauss:
Voreinstellung Aktion
Rounding True Rundet die Ergebnisse
Report True Gibt ein Berechnungsprotokoll aus

Die gleiche Auswertung wie oben, nur ohne Berechnungsprotokoll und Runden:

Fortpflanzung von Meßunsicherheiten

Gauss[Ausdruck, Variable, Parameterliste, (Optionen)] wendet das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz an

Als Parameter müssen ein Ausdruck, also die Formel zur Berechnung der indirekt gemessenen Größe, sowie die Ergebnisgröße ("Variable") angegeben werden. Der dritte Parameter stellt eine Liste dar, die für jede in "Ausdruck" vorkommende Variable einen Eintrag der Form {Größe, Meß-/Mittelwert, Meßunsicherheit} enthalten muß (sie ist also eine zweidimensionale Liste bzw. eine nx3-Matrix). Es dürfen hier nur für den Meßwert und die Unsicherheit Variablen angegeben werden (die später erst eingefügt werden sollen), wenn das Runden ausgeschaltet ist (s. u.), ansonsten müssen alle Werte numerisch vorliegen!
Die Ausgabe erfolgt wieder in gewohnter Form {Variable (abgel. Meßgröße), Mittelwert, Meßunsicherheit}.
Mögliche Optionen finden Sie oben in dem Kasten bei EvaluateSeries!

Hier wird der Widerstand mit dem Ohmschen Gesetz als indirekt über U und I gemessene Größe berechnet:

Nochmal das gleiche Beispiel, nur ist hier der Mittelwert für U anfangs noch nicht bekannt. Das Runden muß jetzt ausgeschaltet werden!:

Regressionskurven

Regression[Daten, Funktionen, Variable, Konstante] berechnet eine Regressionskurve mit Unsicherheiten der Parameter

Will man lediglich die Gleichung einer Regressionskurve erhalten, so sollte man die Standardfumktion Fit verwendet. Diese Funktion hier ist besonders dafür konzipiert, die Kurve inklusive der Unsicherheiten der Parameter zu berechnen und in einem weiterverarbeitungsfähigen Format auszugeben (zum Beispiel mit dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz). Grundlage für die Berechnung ist die Methode der kleinsten Quadrate, implementiert in dem Mathematica-Standard Package "Statistics`LinearRegression`" (Funktion Regress). Wer noch eine Fülle mehr an Informationen über die Regressionskurve erhalten will, sollte dort einmal nachsehen! Neben der im Praktikumsskript angegebenen Regressionsgerade beherrscht diese Funktion beliebige Polynomkurven und viele weitere.
Als Eingabe verlangt die Funktion zunächst eine (meist zweidimensionale) Liste der Meßdaten (Meßpunkte). Ferner muß eine Liste der elementaren Funktionen als Basis des Lösungsraumes angegeben werden, aus denen die Lösungsfunktion linearkombiniert werden soll - dazu gehört auch eine mögliche Konstante (als "1"). Beispiel für eine Parabel: {1, x, x^2}. Die "Variable" ist in diesem Fall das x. Für die Ausgabe der Lösung benötigt die Funktion eine noch nicht belegte Variable als "Konstante", die zur Substitution der Parameter in der Form C[1], C[2], C[3], ... benützt werden wird.
Die Ausgabe hat wieder sehr allgemeines Format, das für die Weiterverarbeitung mit Gauss geeignet ist. So werden die Koeffizienten der Lösungsfunktion indirekt angegeben bzw. durch C[i] substituiert und anschließend mit Wert und Standardwbweichung gesondert in einer Liste aufgeführt. Das Ausgabeformat ist also {Lösungsfunktion, Variable, Liste der Koeffizienten}, wobei jeder Listeneintrag der Koeffizientenliste die Form {C[i], Wert, Unsicherheit} hat. Achten Sie darauf, daß hier die Werte gemäß Skriptumsanleitung nicht gerundet werden, da sonst die Kurve sehr schnell sehr weit abweichen kann!

Im folgenden ein etwas ausführlicheres Beispiel mit Visualisierung der Ergebnisse (Regressionskurve soll ein Polynom dritten Grades sein!):

Das Ergebnis kann direkt zur Weiterverarbeitung mit Gauss verwendet werden. Hier soll eine indirekte Meßgröße berechnet werden, die sich als Produkt von x der obigen Kurve (z. B. Eichkurve: das Ergebnis wird indirekt über x gemessen) und einer weiteren Größe y zusammensetzt:

Die große Unsicherheit kommt hier von den hohen Unsicherheiten der Koeffizienten der Eichkurve oben!

Polardiagramme

PolarListPlot[Daten, (Optionen)] zeichnet ein Polardiagramm (Halbkreis) mit einer oder mehreren Datenreihen

PolarListPlot was ursprünglich als Spezialentwicklung für den Versuch "Lichtstreuung" (STR) gedacht, wobei es sich um keine Anpassung des gleichnamigen Befehls des Pakets "Graphics`Graphics`" handelt, sondern um eine vollständige Neuentwicklung. Beachten Sie bitte, daß beim gleichzeitigen Laden dieses Pakets Namenskonflikte auftreten!
Die Daten werden dem Plot als Liste von Punkten der Form "{Winkel [Grad], Wert}" übergeben, wobei alternativ eine Datenreihe oder eine Liste von Datenreihen angegeben werden kann. Eine Verbindung der Punkte einer Datenreihe wird mit einer Spline-Interpolation bewerkstelligt, welche aber auch ausgeschaltet werden kann (s. u.).

Hier wird die Verarbeitung einer Datenreihe gezeigt:

Optionen für PolarListPlot:
Voreinstellung Aktion
MaxValue max. Wert (Daten) Ändert den maximalen Anzeigewert (x-Achse)
ValueGap MaxValue/5 Schrittweite der Kreise bzw. des Wertes
AngleGap 30 Gradabstand der Winkelunterteilung
SplineInterpolation True Verbindet die Datenreihen mit Spline-Kurven

Unter Hinzunahme einer weiteren Datenreihe wird hier eine Varation der Parameter zur Beschönigung des Plots demonstriert:

Die Spline-Interpolation muß man natürlich nicht durchführen lassen:

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Walter Winter, Robert Wagner, 25. Mai 1997 Robert Wagner, 1. August 1997, 20. Oktober 1997, 14. August 1998, Weitere Informationen findet man auch auf Walters Softwareseite.